Calcule cada integral complexa a seguir:
.
Passo 1
O objetivo é calcular a integral
. Vamos usar o método de integração complexa: fazemos a substituição
, transformamos tudo numa função racional
, identificamos os polos dentro do círculo unitário e aplicamos o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Fazendo
temos
Logo a integral vira
Passo 3
Para simplificar o denominador escrevemos
Substituindo de volta obtemos
Passo 4
Chamando o denominador de
, as raízes são dadas por Bhaskara. O discriminante é
e
Analisando as magnitudes vemos que somente
com
, fica dentro do círculo.
Passo 5
Calculamos
. Em
dá
portanto o resíduo é
Pelo Teorema dos Resíduos: