Calcule cada integral complexa a seguir:
integral-pi^pi d theta2+sin theta-cos theta.

Passo 1

O objetivo é calcular a integral I=integral-pi^pi dtheta2+sintheta-costheta. Vamos usar o método de integração complexa: fazemos a substituição z=e^itheta, transformamos tudo numa função racional f(z), identificamos os polos dentro do círculo unitário e aplicamos o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Fazendo z=e^itheta temos
sintheta=z-z^-12i, costheta=z+z^-12, dtheta=dziz
Logo a integral vira
I=oint|z|=11i z,12+z-z^-12i-z+z^-12,dz

Passo 3

Para simplificar o denominador escrevemos
2+z-z^-12i-z+z^-12 =-,(1+i)z^2+4z+(i-1)2z
Substituindo de volta obtemos
I=oint|z|=12z-(1+i)z^2+4z+(i-1)cdotdziz =oint|z|=12i(1+i)z^2-4z-(i-1),dz

Passo 4

Chamando o denominador de Q(z)=(1+i)z^2-4z-(i-1), as raízes são dadas por Bhaskara. O discriminante é
De
e
z1,2=4pm2raiz22(1+i)
Analisando as magnitudes vemos que somente
z2=2-raiz22(1-i), \
com |z2|=tfrac2-raiz22raiz2<1, fica dentro do círculo.

Passo 5

Calculamos Q'(z)=2(1+i)z-4. Em z2
Q'(z2)=-2raiz2,
portanto o resíduo é
Pelo Teorema dos Resíduos:

Resposta

piraiz2

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