Calcular
com
e
definidos por:
e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x, 0 \leq y, 0 \leq z, x+y+z \leq 1\right});
Passo 1
A gente quer calcular a integral tripla de f sobre A, onde f(x,y,z)=
e A é o simplex definido por x≥0, y≥0, z≥0 e x+y+z≤1. O conteúdo principal é integração múltipla (Teorema de Fubini) e uso de integrais iteradas.
Passo 2
Pela regra de Fubini, montamos a integral iterada:
Passo 3
Primeiro integramos em x, tratando S=y+z fixo. Com a mudança de variável
, temos
, x=0→t=1+S, x=1−y−z→t=2. Então
Passo 4
Substituindo de volta, a integral vira
Isso separa em duas integrais:
Passo 5
A parte
é só constante vezes a área do triângulo y≥0, z≥0, y+z≤1, cuja área vale 1/2. Então
Passo 6
Para
, primeiro integramos em y:
Então
Passo 7
Somando as duas partes