Calcular integral triplaA f(x, y, z) d x d y d z com f e A definidos por:
f(x, y, z)=1(1+x+y+z)^3 e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x, 0 \leq y, 0 \leq z, x+y+z \leq 1\right});

Passo 1

A gente quer calcular a integral tripla de f sobre A, onde f(x,y,z)= 1(1+x+y+z)^3 e A é o simplex definido por x≥0, y≥0, z≥0 e x+y+z≤1. O conteúdo principal é integração múltipla (Teorema de Fubini) e uso de integrais iteradas.

Passo 2

Pela regra de Fubini, montamos a integral iterada:
integral triplaA f(x,y,z),dx,dy,dz = integralz=0^1 integraly=0^1-z integralx=0^1-y-z 1(1+x+y+z)^3 ,dx,dy,dz

Passo 3

Primeiro integramos em x, tratando S=y+z fixo. Com a mudança de variável t = 1 + S + x, temos dt=dx, x=0→t=1+S, x=1−y−z→t=2. Então
integral0^1-y-z dx(1+x+y+z)^3 = integralt=1+S^2 t^-3 ,dt = l[-tfrac12t^-2r]1+S^2 = -18 + 12(1+y+z)^2

Passo 4

Substituindo de volta, a integral vira
integralz=0^1integraly=0^1-z l(-tfrac18 + tfrac12(1+y+z)^2r) ,dy,dz
Isso separa em duas integrais:
I1 = -18 integral duplasubstacky>=0,z>=0y+z<=1 dy,dz, I2 = 12 integral duplasubstacky>=0,z>=0y+z<=1 dy,dz(1+y+z)^2

Passo 5

A parte I1 é só constante vezes a área do triângulo y≥0, z≥0, y+z≤1, cuja área vale 1/2. Então
I1 = -18 cdot 12 = -116

Passo 6

Para I2, primeiro integramos em y:
integraly=0^1-z dy(1+y+z)^2 = integralu=1+z^2 u^-2 ,du = l[-u^-1r]1+z^2 = -12 + 11+z
Então
I2 = 12 integralz=0^1 l(-tfrac12 + tfrac11+zr) dz = 12l[ -tfrac12z + ln(1+z) r]0^1 = 12l(-tfrac12 + ln2r) = -tfrac14 + ln22

Passo 7

Somando as duas partes
integral triplaA f = I1 + I2 = -116 -14 + ln22 = ln22 - 516

Resposta

ln22 - 516

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