5.7 Encontre a distância mais curta da origem à curva x^6+3 y^2=1.

Passo 1

Estamos querendo achar a menor distância do ponto (0,0) a curva definida por x6+3y2=1. Isso é um problema de otimização com restrição, mas podemos converter em um problema de uma variável isolando y.

Passo 2

Definimos a função objetivo como a distância ao quadrado para simplificar cálculos: f(x,y)=x^2+y^2. Da restrição x^6+3y^2=1 isolamos y^2:
y^2=1-x^63

Passo 3

Substituindo em f, obtemos função só em x:
f(x)=x^2+1-x^63=13+x^2-x^63

Passo 4

Para encontrar extremos, calculamos a derivada de f(x) e igualamos a zero:
f'(x)=2x-2x^5=2x(1-x^4)=0

Passo 5

Dessa equação vêm as soluções críticas x=0 ou x^4=1, i.e. x=pm1. Em cada caso, usamos a restrição para achar y:
  • Se x=0, então 3y^2=1 e y=pm1/raiz3.
  • Se x=pm1, então x^6=1 e 3y^2=0 logo y=0.

Passo 6

Agora calculamos as distâncias correspondentes (lembrando que a distância é raizf(x)):
  • Para (0,pm1/raiz3): f=0^2+(1/3)=1/3, distância = raiz1/3.
  • Para (pm1,0): f=1+0=1, distância = 1.

Passo 7

A menor delas é raiz1/3, ou seja 1/raiz3.

Resposta

1raiz3

Exercícios relacionados