5.7 Encontre a distância mais curta da origem à curva
.
Passo 1
Estamos querendo achar a menor distância do ponto (0,0) a curva definida por x6+3y2=1. Isso é um problema de otimização com restrição, mas podemos converter em um problema de uma variável isolando y.
Passo 2
Definimos a função objetivo como a distância ao quadrado para simplificar cálculos:
. Da restrição
isolamos
:
Passo 3
Substituindo em
, obtemos função só em
:
Passo 4
Para encontrar extremos, calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Passo 5
Dessa equação vêm as soluções críticas
ou
, i.e.
. Em cada caso, usamos a restrição para achar
:
- Se
, então e . - Se
, então e logo .
Passo 6
Agora calculamos as distâncias correspondentes (lembrando que a distância é
):
- Para
: , distância = . - Para
: , distância = 1.
Passo 7
A menor delas é
, ou seja
.