3.6 Use a regra da cadeia para encontrar a derivada d z / d t, sendo z=cos (2 x+3 y), x(t)=t^3 e y(t)=1 / t^2.

Passo 1

Temos a função composta z=cos(2x+3y), onde x e y são funções de t: x(t)=t^3 e y(t)=t^-2. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas de funções de várias variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y, além das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Definimos u=2x+3y, de modo que z=cos(u). Usando a derivada de cos(u) e as derivadas de u em relação a x e y, obtemos:
partial zpartial x = -sin(u)cdot partial upartial x = -sin(2x+3y)cdot 2 = -2sin(2x+3y),
partial zpartial y = -sin(u)cdot partial upartial y = -sin(2x+3y)cdot 3 = -3sin(2x+3y)

Passo 3

Como x(t)=t^3 e y(t)=t^-2, suas derivadas são:
dxdt = 3t^2,
dydt = -2t^-3

Passo 4

Pela regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt
Substituindo as derivadas:
dzdt = (-2sin(2x+3y))(3t^2) + (-3sin(2x+3y))(-2t^-3) = -6t^2sin(2x+3y) + 6t^-3sin(2x+3y)

Passo 5

Fatorando e substituindo x=t^3, y=t^-2 no argumento do seno, temos:
dzdt = 6l(t^-3-t^2r)sinl(2t^3+3t^-2r)

Resposta

6\bigl(t{-3}-t2\bigr)\sin\bigl(2t3+3t{-2}\bigr)

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