6- Calcule o comprimento da curva
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva de equação
no intervalo
. O conteúdo é comprimento de arco de uma função
e vamos precisar da fórmula
.
Passo 2
Para aplicar essa fórmula, primeiro calculamos a derivada
. Se
, então
Passo 3
Substituindo na fórmula de comprimento de arco, obtemos
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
, com
e
. Note que
. A integral vira
Passo 5
Depois de simplificar o radicando e o fator externo, chega-se a
Passo 6
Para resolver
usamos a primitiva padrão
Passo 7
Aplicando com
e avaliando de
a
e lembrando do
lá de trás, obtemos após simplificação
Resposta
L=\n\frac{431\sqrt{337}}{8192}+\frac{6561}{131072}\ln\Bigl(\n\frac{16+\sqrt{337}}{9}\Bigr)\approx1{,}034