6- Calcule o comprimento da curva y=34 x^3 / 4 com 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva de equação y=tfrac34x^3/4 no intervalo [0,1]. O conteúdo é comprimento de arco de uma função y=f(x) e vamos precisar da fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Para aplicar essa fórmula, primeiro calculamos a derivada y'(x). Se y(x)=tfrac34x^3/4, então
y'(x)=ddxl(tfrac34x^3/4r)=tfrac34cdottfrac34x^-1/4=tfrac916x^-1/4

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento de arco, obtemos
L=integral0^1raiz1+l(tfrac916x^-1/4r)^2,dx=integral0^1raiz1+tfrac81256x^-1/2,dx

Passo 4

Fazemos a mudança de variável x=t^4, com dx=4t^3dt e tin[0,1]. Note que x^-1/2=t^-2. A integral vira
L=integral0^1raiz1+tfrac81256t^-2;4t^3,dt

Passo 5

Depois de simplificar o radicando e o fator externo, chega-se a
L=tfrac14integral0^1t^2raiz256t^2+81,dt

Passo 6

Para resolver integral t^2raiz256t^2+81,dt usamos a primitiva padrão
integral x^2raizax^2+b,dx=xl(2ax^2-br)raizax^2+b8a+b^28a^3/2lnl(raiza,x+raizax^2+br)+C

Passo 7

Aplicando com a=256,b=81 e avaliando de 0 a 1 e lembrando do tfrac14 lá de trás, obtemos após simplificação
L=431raiz3378192+6561131072lnl(16+raiz3379r)

Resposta

L=\n\frac{431\sqrt{337}}{8192}+\frac{6561}{131072}\ln\Bigl(\n\frac{16+\sqrt{337}}{9}\Bigr)\approx1{,}034

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