Calcular integral triplaA f(x, y, z) d x d y d z com f e A definidos por:
f(x, y, z)=x y z e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x \leq y \leq z \leq 1\right});

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular o triplo integral de f(x,y,z)=xyz sobre a região A=(x,y,z)in R^3:0<= x<= y<= z<=1. Isso é um problema de integrais múltiplas, e vamos usar integração iterada escolhendo uma ordem prática de integração.

Passo 2

Para montar a integral iterada, observe a sequência 0<= x<= y<= z<=1. Podemos integrar primeiro em x de 0 até y, depois em y de 0 até z e por fim em z de 0 até 1. Assim temos:
integral triplaA xyz,dx,dy,dz=integralz=0^1integraly=0^zintegralx=0^y xyz,dx,dy,dz

Passo 3

Agora vamos calcular a integral interna em x, tratando y e z como constantes:
integralx=0^y xyz,dx = yzintegral0^y x,dx = yzcdoty^22 = y^3z2

Passo 4

Substituindo esse resultado, nossa integral vira:
integralz=0^1integraly=0^z y^3z2,dy,dz
Agora integramos em y:
integraly=0^z y^3z2,dy = z2integral0^z y^3,dy = z2cdotz^44 = z^58

Passo 5

Finalmente, integramos em z de 0 até 1:
integralz=0^1 z^58,dz = 18cdot16 = 148

Resposta

integral triplaAxyz,dx,dy,dz=148

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