3.5 Encontre as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y) da função
f(x, y)=integralx^y sen(t^2) d t

Passo 1

A função dada é
f(x,y)=integralx^ysin(t^2),dt
e queremos encontrar as derivadas parciais fx(x,y) e fy(x,y). O conteúdo usado será a regra de diferenciação sob o sinal de integral (Regra de Leibniz) para limites que dependem das variáveis.

Passo 2

A Regra de Leibniz diz que, se tivermos
F(u,v)=integrala(u,v)^b(u,v)g(t),dt
então
partial Fpartial u=gl(b(u,v)r)partial bpartial u-gl(a(u,v)r)partial apartial u
e de forma análoga para partial F/partial v.

Passo 3

No nosso caso temos os limites
a(x,y)=x, b(x,y)=y
portanto
partial apartial x=1, partial bpartial x=0, partial apartial y=0, partial bpartial y=1

Passo 4

Para encontrar fx(x,y) aplicamos a regra de Leibniz em relação a x:
fx(x,y)=sinl(b(x,y)^2r)cdot0-sinl(a(x,y)^2r)cdot1=-sinl(x^2r)

Passo 5

Para encontrar fy(x,y) aplicamos em relação a y:
fy(x,y)=sinl(b(x,y)^2r)cdot1-sinl(a(x,y)^2r)cdot0=sinl(y^2r)

Resposta

fx(x,y)=-sin(x^2), fy(x,y)=sin(y^2).

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