5.6 Minimize a função
sobre o gráfico da curva
.
Passo 1
Temos a função
e a restrição
. Vamos usar otimização com restrição por multiplicadores de Lagrange, que diz que em um extremo sob restrição suave o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana
As condições de estação são
e a restrição
Passo 3
Da primeira equação temos
. Da segunda surge
, ou seja,
ou
. No caso
, pela restrição
. Se
, substituindo em
dá
e então
. Assim o único ponto crítico é
.
Passo 4
Calculamos
. Para outros valores de
, reduzindo-se a curva a
, a função vira
, que só cresce com
. Logo
é o mínimo global sobre a curva.
Resposta
O valor mínimo de
sobre a curva é
, atingido no ponto
.