5.6 Minimize a função f(x, y)=x^2+2 y^2 sobre o gráfico da curva x+y^2=1.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+2y^2 e a restrição x+y^2=1. Vamos usar otimização com restrição por multiplicadores de Lagrange, que diz que em um extremo sob restrição suave o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g(x,y)=x+y^2-1.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
L(x,y,lambda)=x^2+2y^2+lambda,(x+y^2-1)
As condições de estação são
partial Lpartial x=2x+lambda=0,
partial Lpartial y=4y+2lambda y=0,
e a restrição
x+y^2=1

Passo 3

Da primeira equação temos lambda=-2x. Da segunda surge y(4+2lambda)=0, ou seja, y=0 ou lambda=-2. No caso y=0, pela restrição x=1. Se lambda=-2, substituindo em lambda=-2x x=1 e então y=0. Assim o único ponto crítico é (1,0).

Passo 4

Calculamos f(1,0)=1^2+2cdot0^2=1. Para outros valores de y, reduzindo-se a curva a x=1-y^2, a função vira F(y)=(1-y^2)^2+2y^2=y^4+1, que só cresce com |y|. Logo f(1,0)=1 é o mínimo global sobre a curva.

Resposta

O valor mínimo de f sobre a curva é 1, atingido no ponto (1,0).

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