Substituição trigonométrica
integral raiz25-4 x^2 d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral
integral raiz25 - 4x^2 , dx
usando substituição trigonométrica. Esse é um caso clássico do tipo raiza^2 - u^2, então vamos usar uma substituição que transforme a raiz num cosseno.

Passo 2

Antes de escolher a substituição, reescreve o radicando para identificar o padrão:
raiz25 - 4x^2 = 5,raiz1 - l(2x5r)^2

Passo 3

Agora propomos a substituição
x = 52,sin(t),
porque aí dentro da raiz fica cos(t). Calculando o diferencial:
dx = 52cos(t) , dt,
e a própria raiz vira
raiz25 - 4x^2 = 5cos(t)

Passo 4

Substituindo na integral original, a gente tem:
integral raiz25 - 4x^2 , dx = integral 5cos(t) cdot 52cos(t) , dt = 252 integral cos^2(t) , dt

Passo 5

Para integrar cos^2(t), usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2(t) = 1 + cos(2t)2

Passo 6

Então
252 integral cos^2(t) , dt = 252 integral 1 + cos(2t)2 , dt = 254 l(t + sin(2t)2r) + C

Passo 7

Falta voltar pra x. Sabemos que
t = arcsinl(2x5r), sin(t)=2x5, cos(t)=raiz25 - 4x^25,
e também
sin(2t)=2sin(t)cos(t)=2cdot2x5cdotraiz25 - 4x^25=4xraiz25 - 4x^225

Passo 8

Substituindo tudo de volta e simplificando, chega-se a:
254arcsinl(2x5r)+x2raiz25 - 4x^2+C

Resposta

254arcsinl(2x5r)+x2raiz25 - 4x^2+C

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