Calcular integral triplaA f(x, y, z) d x d y d z com f e A definidos por:
f(x, y, z)=e^x^2 e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq 1\right}).

Passo 1

Estamos calculando a integral tripla de f(x,y,z)=e^x^2 sobre a região A definida por 0<= x<=1, 0<= y<= x e 0<= z<=1. O conteúdo principal é integração múltipla e uso do Teorema de Fubini, já que a função independe de y e z.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever a integral como
integral triplaAe^x^2,dx,dy,dz = integralx=0^1integraly=0^xintegralz=0^1 e^x^2,dz,dy,dx

Passo 3

Como e^x^2 não depende de y e z, calculamos primeiro
integralz=0^1dz = 1, integraly=0^x dy = x

Passo 4

Substituindo na integral principal obtemos
integral triplaAe^x^2,dV = integral0^1 x,e^x^2,dx

Passo 5

Para resolver integral0^1 x,e^x^2,dx usamos a substituição t = x^2, logo dt = 2x,dx e x,dx = dt/2. Os limites vão de t=0 a t=1 e a integral torna-se
integral0^1 x,e^x^2,dx = 12 integral0^1 e^t ,dt = 12l[e^tr]0^1 = e-12

Resposta

e-12

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