integral(x^3-raizx3+2x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função x^3 - tfracraizx3 + tfrac2x. Esse é um problema de antiderivada, envolvendo regras de potência e a integral de x^-1. Vamos usar a regra geral integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C (para nneq -1) e integral x^-1,dx = ln|x| + C.

Passo 2

Para facilitar, separamos a integral em três partes: $$
\int\Bigl(x^{3}-\tfrac{\sqrt{x}}{3}+\tfrac{2}{x}\Bigr)dx
= \int x^{3}dx - \tfrac{1}{3}\int x^{1/2}dx + 2\int x^{-1}dx.
$$

Passo 3

Agora aplicamos as regras:
  • integral x^3dx = x^44 + C1.
  • integral x^1/2dx = x^3/23/2 + C2 = tfrac23x^3/2 + C2.
  • integral x^-1dx = ln|x| + C3.

Passo 4

Substituindo e combinando constantes, temos:
$$
\int x^{3}dx - \tfrac{1}{3}\int x^{1/2}dx + 2\int x^{-1}dx
= \frac{x^{4}}{4} - \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3}x^{3/2} + 2\ln|x| + C.
$$
Simplificando o coeficiente do segundo termo: integral x^3dx - tfrac13integral x^1/2dx + 2integral x^-1dx = x^44 - tfrac13cdottfrac23x^3/2 + 2ln|x| + C .

Passo 5

Por fim, escrevemos a antiderivada completa:
Juntando tudo, a primitiva é dada por
$$
\frac{x^{4}}{4} - \frac{2}{9}x^{3/2} + 2\ln|x| + C.
$$

Resposta

x^44 - 29x^3/2 + 2ln|x| + C

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