Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva da função
. Esse é um problema de antiderivada, envolvendo regras de potência e a integral de
. Vamos usar a regra geral
(para
) e
.
Passo 2
Para facilitar, separamos a integral em três partes: $$
\int\Bigl(x^{3}-\tfrac{\sqrt{x}}{3}+\tfrac{2}{x}\Bigr)dx
= \int x^{3}dx - \tfrac{1}{3}\int x^{1/2}dx + 2\int x^{-1}dx.
$$
\int\Bigl(x^{3}-\tfrac{\sqrt{x}}{3}+\tfrac{2}{x}\Bigr)dx
= \int x^{3}dx - \tfrac{1}{3}\int x^{1/2}dx + 2\int x^{-1}dx.
$$
Passo 3
Agora aplicamos as regras:
-
. -
. -
.
Passo 4
Substituindo e combinando constantes, temos:
$$
\int x^{3}dx - \tfrac{1}{3}\int x^{1/2}dx + 2\int x^{-1}dx
= \frac{x^{4}}{4} - \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3}x^{3/2} + 2\ln|x| + C.
$$
\int x^{3}dx - \tfrac{1}{3}\int x^{1/2}dx + 2\int x^{-1}dx
= \frac{x^{4}}{4} - \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3}x^{3/2} + 2\ln|x| + C.
$$
Simplificando o coeficiente do segundo termo:
.
Passo 5
Por fim, escrevemos a antiderivada completa:
Juntando tudo, a primitiva é dada por
Juntando tudo, a primitiva é dada por
$$
\frac{x^{4}}{4} - \frac{2}{9}x^{3/2} + 2\ln|x| + C.
$$
\frac{x^{4}}{4} - \frac{2}{9}x^{3/2} + 2\ln|x| + C.
$$