Calcular
com
e
definidos por:
e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x, 0 \leq y, 0 \leq z, x+y+z \leq 1\right});
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral triple de f(x,y,z)=x sobre o sólido A definido por 0≤x, 0≤y, 0≤z e x+y+z≤1. O conteúdo é integração múltipla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar escolher uma ordem de integração e determinar limites adequados.
Passo 2
Para descrever A de forma iterada, fixamos z de 0 a 1, depois para cada z fixo y varia de 0 a 1−z, e finalmente x vai de 0 a 1−y−z. Assim montamos:
Passo 3
Primeiro fazemos a integral em x:
Passo 4
Agora integramos em y:
Calculando,
Passo 5
Por fim, integramos em z: