Calcular integral triplaA f(x, y, z) d x d y d z com f e A definidos por:
f(x, y, z)=x e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x, 0 \leq y, 0 \leq z, x+y+z \leq 1\right});

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral triple de f(x,y,z)=x sobre o sólido A definido por 0≤x, 0≤y, 0≤z e x+y+z≤1. O conteúdo é integração múltipla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar escolher uma ordem de integração e determinar limites adequados.

Passo 2

Para descrever A de forma iterada, fixamos z de 0 a 1, depois para cada z fixo y varia de 0 a 1−z, e finalmente x vai de 0 a 1−y−z. Assim montamos:
integral triplaA x,dxdydz=integralz=0^1integraly=0^1-zintegralx=0^1-y-z x,dx,dy,dz

Passo 3

Primeiro fazemos a integral em x:
integralx=0^1-y-z x,dx=[x^22]0^1-y-z=(1-y-z)^22

Passo 4

Agora integramos em y:
integraly=0^1-z(1-y-z)^22,dy=12integral0^1-zu^2,du,onde u=1-y-z
Calculando,
12cdot(1-z)^33=(1-z)^36

Passo 5

Por fim, integramos em z:
integralz=0^1(1-z)^36,dz=16cdot(1-z)^44|0^1=124

Resposta

integral triplaA x,dxdydz=124

Exercícios relacionados