Faça o que se pede:
Encontre a equação do plano tangente à superfície
z=2(x+1)^2+(y-3)^2+1
no ponto ( 1,-1,25 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície z=2(x+1)^2+(y-3)^2+1 no ponto (1,-1,25). O conteúdo usado vai ser derivadas parciais e a fórmula do plano tangente para superfícies dadas por z=f(x,y).

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x. Como z=2(x+1)^2+(y-3)^2+1, temos
partial zpartial x=2cdot2(x+1)=4(x+1)
No ponto x=1, isso vale 4(1+1)=8.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de z em relação a y. De z=2(x+1)^2+(y-3)^2+1, vem
partial zpartial y=2(y-3)
No ponto y=-1, isso vale 2(-1-3)=2(-4)=-8.

Passo 4

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z-z0 = fx(x0,y0), (x-x0) + fy(x0,y0), (y-y0)
Substituindo x0=1, y0=-1, z0=25, fx(1,-1)=8 e fy(1,-1)=-8, obtemos
z-25 = 8(x-1) -8l(y+1r)

Passo 5

Por fim, podemos reescrever de forma explícita:
z = 25 + 8(x-1) -8(y+1) = 8x -8y +9

Resposta

z = 8x - 8y + 9

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