Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
22.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral(e^ax+e^-ax)^2,dx usando método da substituição, e vamos usar integração de funções exponenciais.

Passo 2

Para aplicar substituição, definimos u = e^ax. Como du = a e^ax,dx = a u,dx, temos
dx = dua,u

Passo 3

Precisamos reescrever o integrando em termos de u. Note que
(e^ax+e^-ax)^2 = l(u + 1ur)^2 = u^2 + 2 + 1u^2

Passo 4

Assim
integral(e^ax+e^-ax)^2,dx = integrall(u^2 + 2 + u^-2r)dua,u = 1aintegrall(u + 2u^-1 + u^-3r)du

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
1aintegral u,du = u^22a, 1aintegral 2u^-1,du = 2aln|u|, 1aintegral u^-3,du = -12au^-2

Passo 6

Voltando para x via u=e^ax, obtemos
e^2ax2a + 2aln(e^ax) - 12ae^-2ax + C = e^2ax2a + 2x - e^-2ax2a + C

Resposta

e^2ax2a + 2x - e^-2ax2a + C

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