Lembre que uma função
f: R R é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz f(a x+b y)=a f(x)+b f(y) para quaisquer a, b, x, y in R.
Dentre as seguintes funções de R em R, marque todas que são transformações lineares. Uma alternativa errada anula uma correta.
G) a função que, para cada comprimento x em centímetros, associa o valor correspondente f(x) em polegadas.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais funções fcolon Rto R satisfazem
f(a x + b y) ;=; a,f(x) + b,f(y)
para quaisquer a,b,x,yin R. A alternativa G define a conversão de um comprimento em centímetros para polegadas.

Passo 2

Sabendo que 1 polegada equivale a 2,54 centímetros, a função é
f(x) = x2,54,
onde x está em centímetros e f(x) em polegadas.

Passo 3

Verificamos a aditividade. Para quaisquer x,yin R:
f(x+y) = x+y2,54 = x2,54 + y2,54 = f(x) + f(y)

Passo 4

Verificamos a homogeneidade. Para qualquer ain R:
f(a x) = a,x2,54 = a,x2,54 = a,f(x)
Portanto,
f(a x + b y) = a,f(x) + b,f(y),
o que mostra que f é transformação linear.

Resposta

G

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