Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades:
integral-1^1 12 d x <= integral-1^1(-12-x4) d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos verificar, sem calcular as integrais, a verdade da desigualdade
integral-1^112,dx;<=;integral-1^1l(-12- x4r),dx
O conteúdo usado será a propriedade de monotonicidade da integral definida: se f(x)<= g(x) em todo o intervalo [a,b], então
integrala^bf(x),dx;<=;integrala^bg(x),dx

Passo 2

Identificamos as duas funções no integrando:
f(x)= -12- x4 e g(x)=12
Para usar a monotonicidade, precisamos comparar f(x) e g(x) em todo xin[-1,1].

Passo 3

Comparamos f(x)<= g(x):
-12- x4 ;<=;12 Long<=ftrightarrow - x4 ;<=;1 Long<=ftrightarrow x>= -4
Como em [-1,1] todo x satisfaz x>=-4, concluímos
-12- x4 ;<=;12 forall xin[-1,1]

Passo 4

Pela monotonicidade da integral, de f(x)<= g(x) em [-1,1] segue
integral-1^1f(x),dx ;<=; integral-1^1g(x),dx,
ou seja,
integral-1^1l(-12- x4r),dx ;<=; integral-1^112,dx
Isto é o inverso da desigualdade proposta.

Resposta

A desigualdade original é falsa. Na verdade vale
integral-1^112,dx ;>=; integral-1^1l(-12- x4r),dx

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