Um míssil é lançado verticalmente de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 min de vôo, seu ângulo de elevação theta varia à razão de 2^circ por segundo. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de elevação é 30^circ.

Passo 1

O enunciado descreve um míssil que sobe verticalmente a partir de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, à mesma altura desta. O ângulo de elevação theta varia a tfrac2^circs. Queremos a velocidade vertical do míssil v=tfracdydt quando theta=30^circ. Este é um problema de taxas relacionadas, envolvendo a relação trigonométrica entre a altura y do míssil e o ângulo theta.

Passo 2

Chamando y(t) a altura do míssil em km e usando que a distância horizontal ao lançador é constante igual a 8 km, temos
tantheta = y8
Dessa relação expressamos
y = 8,tantheta

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a t. Como y e theta dependem de t, obtemos
dydt = 8 ,ddt(tantheta) = 8,sec^2theta,dthetadt

Passo 4

O enunciado dá tfracdthetadt=2^circ/s. Para usar trigonometria, convertemos para rad/s:
dthetadt = 2^circ/stimespi180^circ = pi90 rad/s
No instante em que theta=30^circ, temos
sec^2(30^circ) = l(tfrac1cos30^circr)^2 = l(tfrac1tfracraiz32r)^2 = 43

Passo 5

Substituindo em tfracdydt=8,sec^2theta,tfracdthetadt:
dydt = 8 times 43 times pi90 = 32pi270 = 16pi135 km/s
Convertendo para m/s (multiplicando por 1000):
v = 16pi135times1000approx 372,3 m/s

Resposta

A velocidade do míssil, no instante em que theta=30^circ, é aproximadamente 372,3 m/s

Exercícios relacionados