Um míssil é lançado verticalmente de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 min de vôo, seu ângulo de elevação
varia à razão de
por segundo. Determine a velocidade do míssil quando o ângulo de elevação é
.
Passo 1
O enunciado descreve um míssil que sobe verticalmente a partir de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, à mesma altura desta. O ângulo de elevação
varia a
. Queremos a velocidade vertical do míssil
quando
. Este é um problema de taxas relacionadas, envolvendo a relação trigonométrica entre a altura
do míssil e o ângulo
.
Passo 2
Chamando
a altura do míssil em km e usando que a distância horizontal ao lançador é constante igual a 8 km, temos
Dessa relação expressamos
Passo 3
Derivamos ambos os lados em relação a
. Como
e
dependem de
, obtemos
Passo 4
O enunciado dá
. Para usar trigonometria, convertemos para rad/s:
No instante em que
, temos
Passo 5
Substituindo em
:
Convertendo para m/s (multiplicando por 1000):
Resposta
A velocidade do míssil, no instante em que
, é aproximadamente