Mostre, em cada caso, que a função f satisfaz as três condições do Teorema de Rolle no intervalo apresentado. A seguir encontre o ponto c que satisfaz a conclusão do referido Teorema.
f(x)=x^4-2 x^2-8 e[-2,2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x^4-2x^2-8
satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [-2,2] e, em seguida, encontrar um ponto cin(-2,2) tal que f'(c)=0.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em [-2,2] e diferenciável em (-2,2), pois polinômios são funções infinitamente diferenciáveis.

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos do intervalo:
f(2)=2^4-2cdot2^2-8=16-8-8=0
f(-2)=(-2)^4-2cdot(-2)^2-8=16-8-8=0
Logo, f(2)=f(-2).

Passo 4

Pelo Teorema de Rolle, existe cin(-2,2) tal que f'(c)=0. Vamos calcular a derivada:
f'(x)=ddxl(x^4-2x^2-8r) =4x^3-4x =4x(x^2-1)

Passo 5

Resolvendo f'(x)=0:
4x(x^2-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x^2=1 ;Longrightarrow; x=pm1
Todos esses pontos -1,0,1 pertencem a (-2,2), portanto qualquer um deles serve como c.

Resposta

c=-1,;0 ou 1.

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