Calcular a integral:
integral 5 x^2raiz[5]1-x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral 5 x^2raiz[5]1 - x^3,dx. O tópico é integral por substituição, já que dentro da raiz quinta temos 1 - x^3 e no numerador aparece x^2, que corresponde à parte da derivada dessa função.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 1 - x^3. Daí a derivada é du = -3 x^2,dx, então podemos escrever x^2,dx = -du3.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos integral 5 x^2raiz[5]1 - x^3,dx = 5 integral x^2,u^-1/5,dx Aplicando x^2,dx = -du3, isso vira -tfrac53 integral u^-1/5,du.

Passo 4

Para integrar u^-1/5, usamos a regra de potência: integral u^a,du = u^a+1a+1. Aqui a = -tfrac15, então integral u^-1/5,du = u^4/54/5 = 54u^4/5. Multiplicando pelo fator dá -tfrac53 cdot tfrac54u^4/5 = -tfrac2512u^4/5 + C.

Passo 5

Voltando à variável original, como u = 1 - x^3, substituímos de volta na expressão obtida.

Resposta

-2512(1 - x^3)^4/5 + C

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