Calcular a integral:
integral x^3 sec ^2 x^4 d x

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral integral x^3 sec^2(x^4) , dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos usar a derivada de x^4 para simplificar a expressão.

Passo 2

Para facilitar, definimos u = x^4. Ao derivar, vem du = 4x^3 , dx. Então a gente isola x^3 , dx = tfrac14 , du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral x^3 sec^2(x^4) , dx = 14 integral sec^2(u) , du

Passo 4

A antiderivada de sec^2(u) é tan(u). Logo, integrando:
14 integral sec^2(u) , du = 14 tan(u) + C

Passo 5

Agora, só resta voltar para a variável original usando u = x^4.

Resposta

tfrac14 tan(x^4) + C

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