Calcular a integral:
integral 6 x sen(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 6xsin(3x),dx. O conteúdo da matéria aqui é integração por partes, e a gente vai precisar da fórmula de integração por partes e de saber integrar funções trigonométricas, principalmente sin(3x).

Passo 2

A técnica de integração por partes vem da regra do produto na derivada: a gente sabe que
ddx(u v) = u' v + u v'
Integrando ambos os lados, chega-se em
integral u,dv = u v - integral v,du
É essa fórmula que nós vamos aplicar.

Passo 3

Agora vamos escolher as partes. Definimos
u = 6x
e
dv = sin(3x),dx.
Derivando e integrando, temos
du = 6,dx
v = integral sin(3x),dx = -tfrac13cos(3x).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de partes:
integral 6xsin(3x),dx = u v - integral v,du
Substituindo os valores:
= (6x)l(-tfrac13cos(3x)r) - integral l(-tfrac13cos(3x)r)(6,dx)
Simplificando, fica
= -2xcos(3x) + 2integral cos(3x),dx

Passo 5

Por fim, a integral de cos(3x) é tfrac13sin(3x). Substituindo e simplificando o fator 2, a gente chega no resultado final, incluindo a constante de integração C.

Resposta

-2xcos(3x) + tfrac23sin(3x) + C

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