Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
[2]
integral y(b-a y^2) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral yl(b - a y^2r),dy. O conteúdo aqui é o método de substituição, que serve para transformar a integral numa forma mais simples. Vamos escolher uma substituição adequada para o produto entre y e ,b - a y^2.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = b - a y^2
Calculamos a diferencial de u:
du = -2a,y,dy
Isolando y,dy, obtemos
y,dy = -12a,du

Passo 3

Reescrevemos a integral original em termos de u. Como b - a y^2 = u e y,dy = -tfrac12a,du, temos
integral yl(b - a y^2r),dy = integral u;l(-12a,dur) = -12aintegral u,du

Passo 4

Agora integramos em u:
-12aintegral u,du = -12acdotu^22 = -u^24a + C

Passo 5

Desfazendo a substituição u = b - a y^2, chegamos a
-l(b - a y^2r)^24a + C
Se expandirmos o quadrado e absorvermos constantes em C, obtemos a forma mais usual
b,y^22 ;-;a,y^44 + C'

Resposta

integral yl(b - a y^2r),dy = -l(b - a y^2r)^24a + C = b,y^22 - a,y^44 + C'

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