Calcular
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
sobre a reta
com
variando de
a
.
Conteúdo: integrais de linha de campos não-exatos; método de parametrização.
Conteúdo: integrais de linha de campos não-exatos; método de parametrização.
Passo 2
Parametrizamos
por
Então
e
.
A integral vira
A integral vira
Passo 3
Calculamos o integrando
Substituindo
em
e agrupando, obtemos
Logo a integral é
, que se separa em cinco partes.
Passo 4
As duas primeiras partes formam
Mas note que a função
tem derivada
exatamente o integrando. Logo essa parte é
Passo 5
Agora calculamos
. Expandindo
e integrando por partes ou usando fórmulas-padrão, obtém-se
Em seguida
. Fazendo a substituição
dá
.
Por fim
Por fim
Passo 6
Somando todas as partes: