Calcular
integralC(x^2 y cos x+2 x y sen x-y^2 e^x) d x+(x^2 sen x-2 y e^y-y) d y
onde C: x+y=1, x in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCP,dx+Q,dy
onde
P(x,y)=x^2ycos x+2xysen x-y^2e^x, Q(x,y)=x^2sen x-2ye^y-y,
sobre a reta Ccolon x+y=1 com x variando de 0 a 1.
Conteúdo: integrais de linha de campos não-exatos; método de parametrização.

Passo 2

Parametrizamos C por
x=t, y=1-t, tin[0,1]
Então
,dx=dt e ,dy=-dt.
A integral vira
integral0^1l[P(t,1-t),dt+Q(t,1-t),(-dt)r] =integral0^1l[P(t,1-t)-Q(t,1-t)r],dt

Passo 3

Calculamos o integrando
f(t)=P(t,1-t)-Q(t,1-t)
Substituindo y=1-t em P-Q e agrupando, obtemos
f(t) =t^2(1-t)cos t+(2t-3t^2)sen t-(1-t)^2e^t +2(1-t)e^1-t+(1-t)
Logo a integral é
integral0^1f(t),dt, que se separa em cinco partes.

Passo 4

As duas primeiras partes formam
integral0^1l[t^2(1-t)cos t+(2t-3t^2)sen tr]dt
Mas note que a função
u(t)=t^2(1-t)sen t
tem derivada
u'(t) =(2t-3t^2)sen t +t^2(1-t)cos t,
exatamente o integrando. Logo essa parte é
l[u(1)-u(0)r]=0-0=0

Passo 5

Agora calculamos
I3=-integral0^1(1-t)^2e^tdt. Expandindo (1-t)^2=1-2t+t^2 e integrando por partes ou usando fórmulas-padrão, obtém-se
I3=5-2e
Em seguida
I4=2integral0^1(1-t)e^1-tdt. Fazendo a substituição u=1-t I4=2.
Por fim
I5=integral0^1(1-t)dt=tfrac12

Passo 6

Somando todas as partes:
0+(5-2e)+2+tfrac12 =152-2e

Resposta

152-2e

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