Calcular $ \int_{C} \vec{F}$.d $ \vec{r}$ :
integralC F e r é o arco da parábola C ligando o ponto y^2=2 x+1 e o ponto (0,-1).

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r, onde vec F(x,y)=l(tfracxx^2+y^2,tfracyx^2+y^2r) e C é o arco da parábola y^2=2x+1 ligando (0,-1) a (0,1). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar reconhecer se vec F é conservativo e achar uma potencial.

Passo 2

Primeiro a gente verifica se vec F é conservativo no domínio que interessa (tudo em Bbb R^2 menos a origem). Calculemos as derivadas parciais:
partialpartial yl(xx^2+y^2r)=-2xy(x^2+y^2)^2 e
partialpartial xl(yx^2+y^2r)=-2xy(x^2+y^2)^2.
Como essas duas derivadas coincidem, vec F é conservativo em qualquer região que não passe pela origem.

Passo 3

Agora achamos uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=vec F. Integramos F1=tfracxx^2+y^2 em relação a x:
phi(x,y)=integralxx^2+y^2,dx=12lnl(x^2+y^2r)+h(y)

Passo 4

Derivando em y obtemos
partialphipartial y=yx^2+y^2+h'(y), que deve ser igual a F2=tfracyx^2+y^2. Daí h'(y)=0 e podemos tomar
$$\phi(x,y)=\tfrac12\ln\bigl(x2+y2\bigr).
$$

Passo 5

Como vec F é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
integralCvec Fcdot dvec r=phi(0,1)-phi(0,-1)

Passo 6

Calculando as potenciais: phi(0,1)=tfrac12ln1=0 e phi(0,-1)=tfrac12ln1=0.

Resposta

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