Calcular $ \int_{C} \vec{F}$.d $ \vec{r}$ :
e
é o arco da parábola
ligando o ponto
e o ponto
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral de linha
, onde
e
é o arco da parábola
ligando
a
. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar reconhecer se
é conservativo e achar uma potencial.
Passo 2
Primeiro a gente verifica se
é conservativo no domínio que interessa (tudo em
menos a origem). Calculemos as derivadas parciais:
e
.
Como essas duas derivadas coincidem, é conservativo em qualquer região que não passe pela origem.
Como essas duas derivadas coincidem,
Passo 3
Agora achamos uma função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Passo 4
Derivando em
obtemos
$$\phi(x,y)=\tfrac12\ln\bigl(x2+y2\bigr).
$$
Passo 5
Como
é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
Passo 6
Calculando as potenciais:
e
.
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