Determine a área da parte da superfície z=raiz4-x^2 que está acima da região retangular D no plano x y com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 4.
[
( \mathrm{A}=\frac{4}{3} \pi u.a.)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a área da parte da superfície definida por z=raiz4-x^2 que está acima do retângulo D:;0<= x<=1,;0<= y<=4. O conteúdo é cálculo de área de superfície de uma função z=f(x,y) e vamos precisar da fórmula de área:
A=integral duplaDraiz1+l(tfracpartial zpartial xr)^2+l(tfracpartial zpartial yr)^2,dA

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z:
Derivando z=raiz4-x^2 em relação a x usando regra da cadeia, obtemos
partial zpartial x=12raiz4-x^2cdot(-2x)=-xraiz4-x^2,
e em relação a y temos partial z/partial y=0. Substituindo na fórmula, o integrando fica
raiz1+l(zxr)^2+l(zyr)^2=raiz1+x^24-x^2=2raiz4-x^2

Passo 3

Montar a integral dupla de área sobre D:
A=integraly=0^4integralx=0^12raiz4-x^2,dx,dy
Como o integrando não depende de y, fatoramos a parte em y:
A=l(integral0^4dyr)cdot2integral0^11raiz4-x^2,dx=4cdot2integral0^11raiz4-x^2,dx=8integral0^11raiz4-x^2,dx

Passo 4

Calcular a integral em x usando a primitiva padrão integraltfracdxraiza^2-x^2=arcsin(x/a):
integral0^1dxraiz4-x^2=arcsinl(tfracx2r)|0^1=arcsinl(tfrac12r)-0=pi6
Logo,
A=8timespi6=4pi3

Resposta

tfrac4pi3 u.a.

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