4.3 Calcule
.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular a integral dupla
. O conteúdo principal é reconhecimento de uma derivada dentro da integral e uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Perceba que a derivada de
em relação a
é dado por
Logo,
Passo 3
Usando essa relação, escrevemos
Pelo Teorema de Fubini podemos trocar a ordem de integração: primeiro integramos em
.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral em
:
Assim
Passo 5
Agora calculamos a integral em
. Primeiro,
e
Avaliando de
a
temos
Passo 6
Bastou simplificar: