4.3 Calcule integral0^1 integral-12^2(x+y) e^x^2+2 x y d y d x.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral dupla I=integral0^1integral-tfrac12^2(x+y)e^x^2+2xy,dy,dx. O conteúdo principal é reconhecimento de uma derivada dentro da integral e uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Perceba que a derivada de e^x^2+2xy em relação a x é dado por
partialpartial xe^x^2+2xy=(2x+2y)e^x^2+2xy=2(x+y)e^x^2+2xy
Logo,
(x+y)e^x^2+2xy=tfrac12partialpartial xe^x^2+2xy

Passo 3

Usando essa relação, escrevemos
I=integral0^1integral-1/2^2(x+y)e^x^2+2xy,dy,dx =tfrac12integral0^1integral-1/2^2partialpartial xe^x^2+2xy,dy,dx
Pelo Teorema de Fubini podemos trocar a ordem de integração: primeiro integramos em x.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral em x:
integral0^1partialpartial xe^x^2+2xy,dx=e^1+2y-e^0=e^1+2y-1
Assim
I=tfrac12integral-1/2^2l(e^1+2y-1r),dy

Passo 5

Agora calculamos a integral em y. Primeiro,
integral e^1+2y,dy=ecdot12e^2y= frac e2e^2y,
e
integral1,dy=y
Avaliando de y=-tfrac12 a y=2 temos
I=tfrac12l[tfrac e2l(e^4-e^-1r)-(2-(-tfrac12))r] =tfrac12l[tfrac e2(e^4-e^-1)-tfrac52r]

Passo 6

Bastou simplificar:
I= e4l(e^4-e^-1r)-54 =e^54-14-54 =e^54-tfrac32

Resposta

I=e^54-32

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