Encontre y^prime se cos (y+x)=x e^y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar y' a partir da relação implícita cos(y+x)=x e^y. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita usando regra da cadeia e produto, e vamos precisar aplicar derivada de cos, derivada de e^y via cadeia, e regra do produto em x e^y.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Do lado esquerdo temos derivada de cos(y+x), aplicando a regra da cadeia:
ddxl(cos(y+x)r) = -sin(y+x)cdot ddx(y+x) = -sin(y+x),(y'+1)

Passo 3

Do lado direito, derivamos x e^y usando regra do produto:
ddx(x e^y) = 1cdot e^y + xcdot ddx(e^y) = e^y + x,e^y,y'

Passo 4

Agora igualamos as derivadas:
-sin(y+x),(y'+1) = e^y + x,e^y,y'

Passo 5

Expandindo o lado esquerdo:
-sin(y+x),y' - sin(y+x) = e^y + x,e^y,y'

Passo 6

Reunimos os termos com y' num mesmo lado:
-sin(y+x),y' - x,e^y,y' = e^y + sin(y+x)

Passo 7

Fatoramos y':
y'l(-sin(y+x) - x,e^yr) = e^y + sin(y+x)

Passo 8

Por fim, isolamos y':
y' = e^y + sin(y+x)-sin(y+x) - x,e^y = -e^y + sin(y+x)sin(y+x) + x,e^y

Resposta

y' = -dfrace^y + sin(y+x)sin(y+x) + x,e^y

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