Converta as integrais abaixo para coordenadas polares e resolva-as.

Passo 1

Neste exercício, temos a integral dupla sobre a região D: integral0^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2),dy,dx. O tema é mudança para coordenadas polares, e vamos precisar usar as fórmulas de transformação x = rcostheta, y = rsintheta e o elemento de área dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever a região D em coordenadas polares. Como x varia de 0 a 1 e y de 0 a raiz1-x^2, percebemos que D é o quarto de círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Então r vai de 0 a 1 e theta de 0 a pi2.
Em seguida, substituímos na integral. A função x^2+y^2 vira r^2 e o elemento dx,dy vira r,dr,dtheta. Logo, o integrando fica r^2cdot r = r^3.

Passo 3

Montamos a integral em coordenadas polares:
integral0^pi2 integral0^1 r^3,dr,dtheta

Passo 4

Como a região de integração se separa, podemos escrever como produto de duas integrais. Resolvendo a integral em r temos integral0^1 r^3,dr = 14. E a integral em theta é integral0^pi2 dtheta = pi2. Multiplicando os resultados, chega-se a pi8.

Resposta

pi8

Exercícios relacionados