Converta as integrais abaixo para coordenadas polares e resolva-as.
Passo 1
Neste exercício, temos a integral dupla sobre a região D:
. O tema é mudança para coordenadas polares, e vamos precisar usar as fórmulas de transformação
,
e o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos descrever a região D em coordenadas polares. Como x varia de 0 a 1 e y de 0 a
, percebemos que D é o quarto de círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Então
vai de 0 a 1 e
de 0 a
.
Em seguida, substituímos na integral. A função vira
e o elemento
vira
. Logo, o integrando fica
.
Em seguida, substituímos na integral. A função
Passo 3
Montamos a integral em coordenadas polares:
Passo 4
Como a região de integração se separa, podemos escrever como produto de duas integrais. Resolvendo a integral em r temos
. E a integral em
é
. Multiplicando os resultados, chega-se a
.