4.2 Calcule a integral
Desenhe a região de integração. Troque a ordem de integração e calcule a integral novamente.
Passo 1
Nesse exercício vamos lidar com uma integral dupla sobre uma região do plano e depois trocar a ordem de integração para ver que dá o mesmo valor. O conteúdo-chave é entender o domínio de integração e aplicar a Fubini para inversão da ordem.
Passo 2
A região de integração é definida por 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 2−x. Se desenharmos no plano xy vemos um triângulo com vértices em (0,0), (0,2) e (1,1), limitado pelas retas y=x, y=2−x e pela reta x=0.
Passo 3
Para calcular diretamente, primeiro integramos em y mantendo x fixo:
Vamos achar
Vamos achar
Substituindo os limites obtemos uma função de x.
Passo 4
Depois simplificamos essa expressão em x e integramos de 0 a 1: obtemos
Passo 5
Agora vamos inverter a ordem. Note que y varia de 0 a 2. Para cada y, x vai de 0 até a interseção das retas x=y e x=2−y, ou seja x de 0 a min(y,2−y). Precisamos separar em dois trechos: 0≤y≤1 e 1≤y≤2.
No trecho 0≤y≤1, min(y,2−y)=y, então calculamos
No trecho 0≤y≤1, min(y,2−y)=y, então calculamos
e no trecho 1≤y≤2, min(y,2−y)=2−y, calculamos
Passo 6
Ao realizar essas integrais (primeiro em x depois em y) e somar os resultados dos dois trechos, encontramos também -5/6, confirmando que a inversão de ordem preserva o valor.
O valor obtido nas duas ordens de integração é o mesmo, garantindo consistência pelo teorema de Fubini.
O valor obtido nas duas ordens de integração é o mesmo, garantindo consistência pelo teorema de Fubini.