4.2 Calcule a integral
integral0^1 integralx^2-x(x^2-y) d y d x
Desenhe a região de integração. Troque a ordem de integração e calcule a integral novamente.

Passo 1

Nesse exercício vamos lidar com uma integral dupla sobre uma região do plano e depois trocar a ordem de integração para ver que dá o mesmo valor. O conteúdo-chave é entender o domínio de integração e aplicar a Fubini para inversão da ordem.

Passo 2

A região de integração é definida por 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 2−x. Se desenharmos no plano xy vemos um triângulo com vértices em (0,0), (0,2) e (1,1), limitado pelas retas y=x, y=2−x e pela reta x=0.

Passo 3

Para calcular diretamente, primeiro integramos em y mantendo x fixo:
Vamos achar
integralx^2-x(x^2 - y),dy = l[x^2y - y^22r]y=x^y=2-x
Substituindo os limites obtemos uma função de x.

Passo 4

Depois simplificamos essa expressão em x e integramos de 0 a 1: obtemos
integral0^1 (2x^2 - 2x^3 + 2x - 2),dx = -56

Passo 5

Agora vamos inverter a ordem. Note que y varia de 0 a 2. Para cada y, x vai de 0 até a interseção das retas x=y e x=2−y, ou seja x de 0 a min(y,2−y). Precisamos separar em dois trechos: 0≤y≤1 e 1≤y≤2.
No trecho 0≤y≤1, min(y,2−y)=y, então calculamos
integral0^1integral0^y(x^2 - y),dx,dy
e no trecho 1≤y≤2, min(y,2−y)=2−y, calculamos
integral1^2integral0^2-y(x^2 - y),dx,dy

Passo 6

Ao realizar essas integrais (primeiro em x depois em y) e somar os resultados dos dois trechos, encontramos também -5/6, confirmando que a inversão de ordem preserva o valor.
O valor obtido nas duas ordens de integração é o mesmo, garantindo consistência pelo teorema de Fubini.

Resposta

-56

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