Determinar uma família de soluções para a equação diferencial dydx=y(1-y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma família de soluções para a equação diferencial dydx = y(1 - y). Isso está dentro do estudo de equações diferenciais, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de modo que todos os termos envolvendo y fiquem de um lado e os que envolvem x fiquem do outro. A equação original é:
dydx = y(1 - y)
Podemos separar as variáveis dividindo ambos os lados por y(1 - y) e multiplicando por dx:
1y(1 - y) , dy = dx

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar com o lado esquerdo:
integral 1y(1 - y) , dy
Para integrar essa fração, podemos usar a fração parcial, que consiste em decompor a fração em partes mais simples.

Passo 4

Vamos decompor 1y(1 - y) em frações parciais:
1y(1 - y) = Ay + B1 - y
Multiplicando ambos os lados por y(1 - y), temos:
1 = A(1 - y) + B y
Para encontrar A e B, podemos escolher valores estratégicos para y.

Passo 5

Escolhendo y = 0:
1 = A(1 - 0) + B(0) Rightarrow A = 1
Escolhendo y = 1:
1 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 1
Então, a decomposição fica:
1y(1 - y) = 1y + 11 - y

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
integral ( 1y + 11 - y ) dy = integral dx
Integrando cada termo:
ln|y| - ln|1 - y| = x + C
Aqui, usamos o fato de que integral 11 - y , dy = -ln|1 - y|.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln( y1 - y ) = x + C
Para resolver para y, vamos exponentiar ambos os lados:
y1 - y = e^x + C = e^C e^x
Podemos chamar e^C de uma nova constante K, então:
y1 - y = K e^x

Passo 8

Agora, isolamos y:
y = K e^x (1 - y)
y = K e^x - K e^x y
y + K e^x y = K e^x
y(1 + K e^x) = K e^x
y = K e^x1 + K e^x

Resposta

A família de soluções da equação diferencial é:
y(x) = K e^x1 + K e^x
onde K é uma constante real.

Exercícios relacionados