Determinar uma família de soluções para a equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma família de soluções para a equação diferencial
. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de modo que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os que envolvem
fiquem do outro. A equação original é:
Podemos separar as variáveis dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar com o lado esquerdo:
Para integrar essa fração, podemos usar a fração parcial, que consiste em decompor a fração em partes mais simples.
Passo 4
Vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores estratégicos para
.
Passo 5
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando cada termo:
Aqui, usamos o fato de que
.
Passo 7
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Para resolver para
, vamos exponentiar ambos os lados:
Podemos chamar
de uma nova constante
, então:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Resposta
A família de soluções da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.