Calcular partial fpartial nabla f(0,1)(0,1) para f(x, y)=integralx^y e^x y t^2 d t. Mencione os teoremas do cálculo empregados nas contas efetuadas. Qual a especialidade desta derivada direcional?

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=integralx^ye^x,y,t^2,dt
no ponto (0,1) na direção do vetor nabla f(0,1).
O conteúdo necessário é
  1. Regra de Leibniz para diferenciar integrais cujos limites e integrando dependem de variáveis.
  2. A definição de derivada direcional em termos do gradiente:
Dvec vf(x0,y0)=nabla f(x0,y0)cdot vec v

Passo 2

Aplicamos a regra de Leibniz para
partial fpartial x(x,y).
Seja
a(x,y)=x, b(x,y)=y, g(x,y,t)=e^x,y,t^2
Então
partial fpartial x =-,g(x,y,a(x,y))cdotpartial apartial x +integrala^bpartial gpartial x,dt =-e^x,y,x^2 +integralx^yy,t^2,e^x,y,t^2,dt

Passo 3

De modo análogo,
partial fpartial y =g(x,y,b(x,y))cdotpartial bpartial y +integralx^ypartial gpartial y,dt =e^x,y,y^2 +integralx^yx,t^2,e^x,y,t^2,dt

Passo 4

Avaliaremos em (x,y)=(0,1). Note que e^0cdot1cdot t^2=1:
partial fpartial x(0,1) =-e^0+ integral0^11cdot t^2,dt =-1+[t^33]0^1 =-1+13 =-23,
partial fpartial y(0,1) =e^0+integral0^10cdot t^2,dt =1+0 =1
Logo
nabla f(0,1)=l(-tfrac23,1r).

Passo 5

A derivada direcional de f em (0,1) na direção do vetor nabla f(0,1) é
Dnabla f(0,1)f(0,1) =nabla f(0,1)cdotnabla f(0,1) =l(-tfrac23r)^2+1^2 =49+1 =139
Aqui usamos o Teorema da derivada direcional que diz
;Dvec vf=nabla fcdotvec v.

Resposta

partial fpartial nablaf(0,1)(0,1) =Dnabla f(0,1)f(0,1) =139
Especialidade: esta derivada direcional, por ser feita na direção do gradiente, fornece a taxa de crescimento máxima de f em (0,1).

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