Determinar a solução do P.V.I
y^prime-2 x=x, y(0)=1
Em seguida, mostre que a solução obtida verifica formalmente a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (P.V.I) que o enunciado nos deu. A equação diferencial que temos é y' - 2x = x com a condição inicial y(0) = 1 . A matéria aqui envolve resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, a equação é y' - 2x = x . Vamos rearranjar para:
y' = 2x + x implies y' - 0y = 3x
Parece que houve uma confusão na reorganização. Na verdade, a equação original já está quase na forma padrão. Vamos ajustá-la corretamente:
y' - 0y = 2x + x implies y' = 3x
Na verdade, uma correção: a equação original é y' - 2x = x , então podemos rearranjar para:
y' = 2x + x implies y' = 3x
Agora está correta.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação y' = 3x . Isso é uma equação diferencial simples de primeira ordem onde a derivada de y em relação a x é igual a 3x . Para encontrar y , precisamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral y' , dx = integral 3x , dx
Lembrando que y' é a derivada de y , então a integral de y' , dx é apenas y .

Passo 4

Realizando as integrais:
y = 32x^2 + C
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

A condição inicial dada é y(0) = 1 . Vamos substituir x = 0 e y = 1 na equação para encontrar C :
1 = 32(0)^2 + C implies 1 = 0 + C implies C = 1

Passo 6

Substituindo C = 1 na equação de y , temos a solução particular do P.V.I:
y = 32x^2 + 1

Passo 7

Agora, vamos verificar se essa solução realmente satisfaz a equação diferencial original y' - 2x = x . Primeiro, calculamos a derivada de y :
y = 32x^2 + 1 implies y' = 3x
Substituindo y' e y na equação original:
3x - 2x = x
Simplificando:
x = x
A igualdade é verdadeira, então a solução encontrada satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A solução do P.V.I é y = 32x^2 + 1 .

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