Determinar a solução do P.V.I
Em seguida, mostre que a solução obtida verifica formalmente a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (P.V.I) que o enunciado nos deu. A equação diferencial que temos é
com a condição inicial
. A matéria aqui envolve resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
No nosso caso, a equação é
. Vamos rearranjar para:
Parece que houve uma confusão na reorganização. Na verdade, a equação original já está quase na forma padrão. Vamos ajustá-la corretamente:
Na verdade, uma correção: a equação original é
, então podemos rearranjar para:
Agora está correta.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Isso é uma equação diferencial simples de primeira ordem onde a derivada de
em relação a
é igual a
. Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados em relação a
:
Lembrando que
é a derivada de
, então a integral de
é apenas
.
Passo 4
Realizando as integrais:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
A condição inicial dada é
. Vamos substituir
e
na equação para encontrar
:
Passo 6
Substituindo
na equação de
, temos a solução particular do P.V.I:
Passo 7
Agora, vamos verificar se essa solução realmente satisfaz a equação diferencial original
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
A igualdade é verdadeira, então a solução encontrada satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
A solução do P.V.I é
.