Mostrar que a equação diferencial é homogênea e em seguida determinar uma família de soluções para a mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação diferencial:
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente mostre que essa equação é homogênea e, depois, encontrar uma família de soluções para ela. Para isso, precisamos saber o que é uma equação diferencial homogênea e como resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Vamos começar verificando se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos podem ser escritos como funções de .
Então, vamos olhar para cada termo:
é de grau 2 (porque é elevado ao quadrado).
também é de grau 2.
é de grau 2 (pois e são multiplicados).
Como todos os termos são de mesmo grau, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar em termos de e :
Substituindo e na equação original:
Passo 4
Simplificando os termos:
Distribuindo os termos na segunda parte:
Agora, combinando os termos que contêm :
Simplificando ainda mais:
Fatorando :
Passo 5
Dividindo toda a equação por para simplificar:
Agora, reescrevendo a equação:
Passo 6
Vamos separar as variáveis e :
Simplificando a fração à esquerda:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Vamos substituir de volta na equação:
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2 para facilitar:
2 ln|yx| - (yx)^2 = -4 ln|x| + C'
Onde C' é uma nova constante de integração.
Resposta
A família de soluções da equação diferencial é dada por: