Mostrar que a equação diferencial (x^2-3 y^2) dx+2 x y dy=0 é homogênea e em seguida determinar uma família de soluções para a mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação diferencial:
(x^2 - 3 y^2) dx + 2 x y dy = 0
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente mostre que essa equação é homogênea e, depois, encontrar uma família de soluções para ela. Para isso, precisamos saber o que é uma equação diferencial homogênea e como resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Vamos começar verificando se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos podem ser escritos como funções de yx .
Então, vamos olhar para cada termo:
  • x^2 é de grau 2 (porque x é elevado ao quadrado).
  • y^2 também é de grau 2.
  • 2xy é de grau 2 (pois x e y são multiplicados).
Como todos os termos são de mesmo grau, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição v = yx para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos fazer a substituição v = yx . Isso implica que y = v x . Agora, precisamos encontrar dy em termos de dv e dx :
dy = v dx + x dv
Substituindo y e dy na equação original:
(x^2 - 3 (v x)^2) dx + 2 x (v x) (v dx + x dv) = 0

Passo 4

Simplificando os termos:
(x^2 - 3 v^2 x^2) dx + 2 x^2 v (v dx + x dv) = 0
Distribuindo os termos na segunda parte:
(x^2 - 3 v^2 x^2) dx + 2 v^2 x^2 dx + 2 v x^3 dv = 0
Agora, combinando os termos que contêm dx :
(x^2 - 3 v^2 x^2 + 2 v^2 x^2) dx + 2 v x^3 dv = 0
Simplificando ainda mais:
(x^2 - v^2 x^2) dx + 2 v x^3 dv = 0
Fatorando x^2 :
x^2(1 - v^2) dx + 2 v x^3 dv = 0

Passo 5

Dividindo toda a equação por x^3 para simplificar:
1 - v^2x dx + 2 v dv = 0
Agora, reescrevendo a equação:
1 - v^2x dx = -2 v dv

Passo 6

Vamos separar as variáveis x e v :
1 - v^2v dv = -2x dx
Simplificando a fração à esquerda:
(1v - v) dv = -2x dx

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral (1v - v) dv = integral -2x dx
Calculando as integrais:
ln|v| - v^22 = -2 ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Vamos substituir v = yx de volta na equação:
ln|yx| - 12 (yx)^2 = -2 ln|x| + C
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2 para facilitar:
2 ln|yx| - (yx)^2 = -4 ln|x| + C'
Onde C' é uma nova constante de integração.

Resposta

A família de soluções da equação diferencial é dada por:
2 ln|yx| - (yx)^2 = -4 ln|x| + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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