Calcular e interpretar fisicamente cada integral seguinte,
Usar coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede a avaliação da integral de
sobre o disco
, com
, usando coordenadas polares. Vamos precisar das substituições
e explorar a simetria do disco.
Passo 2
Reescrevendo em polares, a integral torna-se
Separamos em duas parcelas:
Passo 3
Calculemos
. Como as integrais separam em produto de variáveis,
Temos
logo
Passo 4
Agora
:
Passo 5
Somando as parcelas,
Interpretação física:
– A parte é o momento estático em
de uma lâmina uniforme, que zera por simetria do disco.
– A parte representa a massa total de uma lâmina de densidade superficial constante
sobre o disco, igual a
vezes a área
.
– A parte
– A parte