Calcular e interpretar fisicamente cada integral seguinte,
integral duplax^2+y^2 <= a^2(x+a) d x d y, a>0
Usar coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede a avaliação da integral de
f(x,y)=x+a
sobre o disco (x,y)mid x^2+y^2<= a^2, com a>0, usando coordenadas polares. Vamos precisar das substituições
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = dx,dy = r,dr,dtheta,
e explorar a simetria do disco.

Passo 2

Reescrevendo em polares, a integral torna-se
integral duplax^2+y^2<= a^2(x+a),dx,dy = integral0^2pi!integral0^al(rcostheta + ar),r,dr,dtheta
Separamos em duas parcelas:
I1=integral0^2pi!integral0^ar^2costheta,dr,dtheta, I2=integral0^2pi!integral0^aa,r,dr,dtheta

Passo 3

Calculemos I1. Como as integrais separam em produto de variáveis,
I1 =l(integral0^ar^2,drr),l(integral0^2picostheta,dthetar)
Temos
integral0^ar^2,dr=a^33, integral0^2picostheta,dtheta=0,
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I1= a^33times 0 = 0

Passo 4

Agora I2:
I2 = aintegral0^2pi!dtheta;integral0^ar,dr = acdot(2pi)cdota^22 = pi,a^3

Passo 5

Somando as parcelas,
integral duplax^2+y^2<= a^2(x+a),dx,dy = I1+I2 = 0 + pi,a^3 = pi,a^3
Interpretação física:
– A parte integral dupla x,dA é o momento estático em x de uma lâmina uniforme, que zera por simetria do disco.
– A parte integral dupla a,dA representa a massa total de uma lâmina de densidade superficial constante a sobre o disco, igual a a vezes a área pi a^2.

Resposta

pi a^3

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