Mostrar que a equação diferencial (2 x cos y+3 x^2 y) dx+(x^3-x^2 sin y-y) dy=0 é exata e em seguida determinar uma família de soluções para a mesma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
(2x cos y + 3x^2 y) dx + (x^3 - x^2 sin y - y) dy = 0
Estamos lidando com equações diferenciais exatas. Primeiro, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma família de soluções. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais das funções que acompanham dx e dy .

Passo 2

Vamos identificar as funções que estão multiplicando dx e dy :
  • M(x, y) = 2x cos y + 3x^2 y
  • N(x, y) = x^3 - x^2 sin y - y
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = -2x sin y + 3x^2
  • partial Npartial x = 3x^2 - 2x sin y
Vemos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x = 3x^2 - 2x sin y
Como as derivadas parciais são iguais, a equação diferencial é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma função potencial phi(x, y) tal que:
partial phipartial x = M(x, y) e partial phipartial y = N(x, y)
Primeiro, integramos M(x, y) em relação a x :
phi(x, y) = integral (2x cos y + 3x^2 y) dx = x^2 cos y + x^3 y + g(y),
onde g(y) é uma função de integração que depende apenas de y .

Passo 5

Agora, vamos derivar phi(x, y) em relação a y e igualar a N(x, y) :
partial phipartial y = -x^2 sin y + x^3 + g'(y) = x^3 - x^2 sin y - y
Comparando ambos os lados:
g'(y) = -y
Integrando g'(y) em relação a y :
g(y) = -12 y^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A família de soluções da equação diferencial é dada por:
x^2 cos y + x^3 y - 12 y^2 = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados