Mostrar que a equação diferencial
é exata e em seguida determinar uma família de soluções para a mesma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Estamos lidando com equações diferenciais exatas. Primeiro, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma família de soluções. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais das funções que acompanham
e
.
Passo 2
Vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Vemos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação diferencial é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma função potencial
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando ambos os lados:
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A família de soluções da equação diferencial é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.