Verificar se as transformações seguintes são inversiveis e se é possivel calcular a inversa :
T(x, y)=(2 x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: R² → R² dada por T(x,y) = (2x - y,; x + y) é invertível e, se for, calcular sua inversa. O tema aqui é transformações lineares, invertibilidade via determinante e cálculo de inversa de matriz 2×2; vamos precisar representar T como matriz na base canônica e usar o determinante.

Passo 2

A matriz associada a T na base canônica é dada por
A = 2 & -1 1 & 1
pois
A x y = 2x - y x + y = T(x,y)
Para testar invertibilidade, calculamos o determinante de A:
det(A) = 2 cdot 1 - (-1) cdot 1 = 2 + 1 = 3
Na teoria de matrizes, uma transformação linear em Rⁿ é invertível se e somente se o determinante de sua matriz for não nulo. Como det(A) = 3 neq 0, concluímos que T é invertível.

Passo 3

Para achar a inversa, vamos resolver o sistema
2x - y = u x + y = v
odê (u,v) é a imagem T(x,y). Somando as duas equações:
(2x - y) + (x + y) = u + v implies 3x = u + v implies x = u + v3
Substituindo em x + y = v obtemos:
y = v - x = v - u + v3 = 3v - u - v3 = 2v - u3
Portanto, em notação de transformação, a inversa de T é:
T^-1(u,v) = l(tfracu+v3,;tfrac2v - u3r)

Resposta

T é invertível (pois det = 3 ≠ 0) e
T^-1(u,v) = l(tfracu+v3,;tfrac2v - u3r)

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