Verificar se as transformações seguintes são inversiveis e se é possivel calcular a inversa :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: R² → R² dada por
é invertível e, se for, calcular sua inversa. O tema aqui é transformações lineares, invertibilidade via determinante e cálculo de inversa de matriz 2×2; vamos precisar representar T como matriz na base canônica e usar o determinante.
Passo 2
A matriz associada a T na base canônica é dada por
pois
Para testar invertibilidade, calculamos o determinante de A:
Na teoria de matrizes, uma transformação linear em Rⁿ é invertível se e somente se o determinante de sua matriz for não nulo. Como
, concluímos que T é invertível.
Passo 3
Para achar a inversa, vamos resolver o sistema
odê
é a imagem
. Somando as duas equações:
Substituindo em
obtemos:
Portanto, em notação de transformação, a inversa de T é:
Resposta
T é invertível (pois det = 3 ≠ 0) e