Calcular lang<= u, vrang<=,||u||,||v|| e o angulo entre u e v :
u=(4,0,2,-8), v=(-2,2,-4,-6) com o produto usual em R^4

Passo 1

O problema pede para calcular o produto interno, as normas e o ângulo entre os vetores u=(4,0,2,-8) e v=(-2,2,-4,-6) no espaço R^4 com o produto usual. Vamos usar as definições:
– Produto interno: lang<= u,vrang<==sumi=1^4ui vi.
– Norma de um vetor: |u|=raizlang<= u,urang<=.
– Ângulo entre vetores: costheta=dfraclang<= u,vrang<=|u|,|v|, daí theta=arccos(cdot).

Passo 2

Para achar o produto interno, multiplicamos componente a componente e somamos:
lang<= u,vrang<= = 4cdot(-2) + 0cdot2 + 2cdot(-4) + (-8)cdot(-6) = -8 + 0 -8 + 48 = 32

Passo 3

Agora as normas. Primeiro u:
|u| = raiz4^2 + 0^2 + 2^2 + (-8)^2 = raiz16 + 0 + 4 + 64 = raiz84 = 2raiz21
Para v:
|v| = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 4 + 16 + 36 = raiz60 = 2raiz15

Passo 4

Finalmente, usamos a relação com o cosseno:
costheta = lang<= u,vrang<=|u|,|v| = 32(2raiz21)(2raiz15) = 324raiz315 = 8raiz315
Então
theta = arccosl(8raiz315r) approx 1,103 rad approx 63,2^circ

Resposta

lang<= u,vrang<= = 32, |u| = 2raiz21, |v| = 2raiz15, theta = arccosl(tfrac8raiz315r) approx 1,103 rad approx 63,2^circ.

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