Verificar se as funções abaixo definem um produto interno no espaco vetorial
indicado :
Passo 1
O enunciado pede pra gente checar se a regra $⟨(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})⟩ = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$ define um produto interno em $\mathbb{R}^{2}$$. O conteúdo aqui é a definição de produto interno: precisamos verificar simetria, linearidade em um dos argumentos e positividade (definida-positiva).
Passo 2
Primeiro, simetria: um produto interno deve satisfazer $<u,v> = <v,u>$ para quaisquer vetores $u,v$. No nosso caso, se $u=(x_{1},y_{1})$ e $v=(x_{2},y_{2})$, então
e trocando a ordem
Passo 3
Agora, linearidade no primeiro argumento: para quaisquer vetores $u,w,z$ e escalar $α$, precisa valer
$
$
De fato, se $u=(x_{1},y_{1}), w=(x’{1},y’{1}), z=(x_{2},y_{2})$, então
Passo 4
Finalmente, positividade definida: para todo $u=(x_{1},y_{1})$ precisamos de $⟨u,u⟩ \ge 0$ e igualdade zero só se $u$ for o vetor nulo. Aqui
Passo 5
Já temos simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida. Logo essa regra é de fato um produto interno em $\mathbb{R}^{2}$.
Resposta
Sim. A função
satisfaz simetria, linearidade em um argumento e positividade definida, portanto é um produto interno em
.