Verificar se as funções abaixo definem um produto interno no espaco vetorial E indicado :
lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<==x1 x2+y1 y2 em R^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente checar se a regra $⟨(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})⟩ = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$ define um produto interno em $\mathbb{R}^{2}$$. O conteúdo aqui é a definição de produto interno: precisamos verificar simetria, linearidade em um dos argumentos e positividade (definida-positiva).

Passo 2

Primeiro, simetria: um produto interno deve satisfazer $<u,v> = <v,u>$ para quaisquer vetores $u,v$. No nosso caso, se $u=(x_{1},y_{1})$ e $v=(x_{2},y_{2})$, então
=
e trocando a ordem
u,v Como $x_{2}x_{1}=x_{1}x_{2}$ e $y_{2}y_{1}=y_{1}y_{2}$, temos $⟨u,v⟩=⟨v,u⟩$, logo simetria ok.

Passo 3

Agora, linearidade no primeiro argumento: para quaisquer vetores $u,w,z$ e escalar $α$, precisa valer
$ u,w,z
$ α De fato, se $u=(x_{1},y_{1}), w=(x’{1},y’{1}), z=(x_{2},y_{2})$, então
= + , E para escalar $α$:
<αu, z> = α Portanto a bilinearidade (linearidade + homogênea) está satisfeita.

Passo 4

Finalmente, positividade definida: para todo $u=(x_{1},y_{1})$ precisamos de $⟨u,u⟩ \ge 0$ e igualdade zero só se $u$ for o vetor nulo. Aqui
u=(x1,y1) Sabemos por geometria e propriedades de quadrados que $x_{1}{2}+y_{1}{2} \ge 0$ sempre, e $x_{1}{2}+y_{1}{2} = 0$ exatamente quando $x_{1}=0$ e $y_{1}=0$, ou seja, $u$ é o vetor nulo. Assim a positividade está OK.

Passo 5

Já temos simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida. Logo essa regra é de fato um produto interno em $\mathbb{R}^{2}$.

Resposta

Sim. A função ⟨(x1,y1),(x2,y2)⟩ = x1x2 + y1y2 satisfaz simetria, linearidade em um argumento e positividade definida, portanto é um produto interno em R^2.

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