Seja E um espaço vetorial de dimensão 3 e seja g: E E uma transformação linear tal que f neq 0 e f circ f=0.
a. Provar que Im(f) subset Ker f.
b. Provar que se f neq 0 então dim(Im f) >= 1
c. Achar as dimensões de Im(f) e Ker f.

Passo 1

A questão nos dá um espaço vetorial E de dimensão 3 e uma aplicação linear f: E to E tal que f neq 0 e f circ f = 0. O conteúdo que vamos usar é: definição de imagem e núcleo, propriedade de nilpotência f^2=0 e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Para provar que Im(f) subset Ker(f), tome um vetor y in Im(f). Então existe x in E com y = f(x). Aplicando f, temos
f(y) = fl(f(x)r) = 0
por hipótese f circ f = 0. Logo y in Ker(f).

Passo 3

Como f neq 0, existe algum v in E tal que f(v) neq 0. Isso mostra que Im(f) não é o subespaço nulo, ou seja, dim(Im f) >= 1.

Passo 4

Pelo teorema do posto-nulidade vale
dim(Ker f) + dim(Im f) = 3
Como já vimos que Im f subset Ker f, segue
dim(Ker f) >= dim(Im f)
Seja r = dim(Im f). Então dim(Ker f) = 3 - r e
3 - r >= r Longrightarrow 2r <= 3
Como r é inteiro e r >= 1, concluímos r = 1 e assim dim(Ker f) = 2.

Resposta

dim(Im f)=1 e dim(Ker f)=2.

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