Seja
um espaço vetorial de dimensão 3 e seja
uma transformação linear tal que
e
.
a. Provar que
.
b. Provar que se
então
c. Achar as dimensões de
e
.
a. Provar que
b. Provar que se
c. Achar as dimensões de
Passo 1
A questão nos dá um espaço vetorial
de dimensão 3 e uma aplicação linear
tal que
e
. O conteúdo que vamos usar é: definição de imagem e núcleo, propriedade de nilpotência
e o teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Para provar que
, tome um vetor
. Então existe
com
. Aplicando
, temos
por hipótese
. Logo
.
Passo 3
Como
, existe algum
tal que
. Isso mostra que
não é o subespaço nulo, ou seja,
.
Passo 4
Pelo teorema do posto-nulidade vale
Como já vimos que
, segue
Seja
. Então
e
Como
é inteiro e
, concluímos
e assim
.