Calcular
lim x +infty (x^x)^xx^(x^x)

Passo 1

O enunciado é calcular o limite
limxto+infty(x^x)^xx^x^x
O conteúdo envolve limites de funções exponenciais e manipulação de potências. Vamos usar propriedades de expoentes e comparar taxas de crescimento.

Passo 2

Reescrevemos a potência no numerador:
(x^x)^x = x^xcdot x = x^x^2
Assim a expressão fica
x^x^2x^x^x = x^x^2 - x^x

Passo 3

Para analisar o expoente
E(x)=x^2 - x^x,
sabemos que, quando xto+infty, funções da forma x^x crescem muito mais rápido que qualquer polinômio como x^2. Logo E(x)to-infty.

Passo 4

Transformamos em termo exponencial para concluir o limite. Primeiro escrevemos
x^x^2 - x^x = expl((x^2 - x^x)ln xr)
O argumento (x^2 - x^x)ln x = -x^xln x + x^2ln x tende a -infty. Portanto a exponencial tende a zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados