Provar que
arctan (e^x)-arctan (tanh x2)=c t e
e achar essa constante.

Passo 1

Temos a expressão
arctanl(e^xr)-arctanl(tanhx2r)
e queremos mostrar que ela é constante e determinar esse valor. O conteúdo envolve as identidades de hiperbólica em termos de exponenciais e a fórmula de diferença de arctan.

Passo 2

Usamos a identidade
tanhx2=e^x/2-e^-x/2e^x/2+e^-x/2=e^x-1e^x+1

Passo 3

Definimos y=e^x. Então a expressão fica
arctan(e^x)-arctanl(tanhtfracx2r)=arctan(y)-arctanl(tfracy-1y+1r)

Passo 4

Aplicamos a fórmula de diferença de arctan:
arctan(a)-arctan(b)=arctanl(a-b1+abr)
Aqui a=y e b=tfracy-1y+1. Calculamos separadamente o numerador e o denominador:
num=y-y-1y+1=y(y+1)-(y-1)y+1=y^2+1y+1,
den=1+ycdoty-1y+1=y+1+y(y-1)y+1=y^2+1y+1
Logo
numden=1
easí
arctan(y)-arctanl(tfracy-1y+1r)=arctan(1)

Passo 5

Como arctan(1)=pi/4 e a expressão é contínua em x, concluímos que a diferença é a constante pi/4.

Resposta

pi/4

Exercícios relacionados