4.6 Calcule:
integral (ln x)^2x^3 d x.

Passo 1

Estamos lidando com a integral indefinida integral (ln x)^2x^3,dx. O conteúdo principal envolve mudança de variável (substituição) para transformar em uma integral de exponencial vezes polinômio e depois usar integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição t = ln x, de modo que dt = tfrac1x,dx e x = e^t. Como x^-3,dx = x^-2,dt e x^-2 = e^-2t, a integral vira
integral (ln x)^2x^3,dx = integral t^2,e^-2t,dt
Agora precisamos calcular integral t^2e^-2t,dt. Aplicamos integração por partes com:
integral t^2e^-2t,dt = uv - integral v,du = -tfrac12t^2e^-2t + integral t e^-2t,dt
integral t e^-2t,dt
Logo,
integral t e^-2t,dt = -tfrac12t e^-2t + tfrac12integral e^-2t,dt = -tfrac12t e^-2t - tfrac14e^-2t
Falta t. De novo por partes:
integral t^2e^-2t,dt = -tfrac12t^2e^-2t - tfrac12t e^-2t - tfrac14e^-2t + C
x
Então
t=ln x
Juntando os resultados em e^-2t=x^-2:
integral (ln x)^2x^3,dx = -(ln x)^22x^2 - ln x2x^2 - 14x^2 + C
Por fim, voltamos a , lembrando que e . Obtemos:

Resposta

-\frac{(\ln x){2}}{2x{2}} - \frac{\ln x}{2x^{2}} - \frac{1}{4x^{2}} + C

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