Dado f(x)=(x+1)(x+2)(x-1)(x-2), calcule f^prime(x).

Passo 1

A função dada é f(x)=(x+1)(x+2)(x-1)(x-2). Aqui queremos calcular f'(x), e o conteúdo que vamos usar é derivada de quociente de funções (regra do quociente) junto com derivação de polinômios.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, definimos o numerador e denominador como funções separadas:
u(x) = (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2,
v(x) = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2
Derivando cada uma: u'(x) = 2x + 3 e v'(x) = 2x - 3.

Passo 3

A regra do quociente diz:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo:
u'(x)v(x) = (2x+3)(x^2 - 3x + 2) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6,
u(x)v'(x) = (x^2 + 3x + 2)(2x - 3) = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6
Subtraindo:
u'(x)v(x) - u(x)v'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 5x + 6) - (2x^3 + 3x^2 - 5x - 6) = -6x^2 + 12 = -6(x^2 - 2)

Passo 5

Portanto, substituindo no denominador e deixando tudo em forma simplificada, obtemos:
f'(x) = -6(x^2 - 2)(x^2 - 3x + 2)^2

Resposta

f'(x) = -6,(x^2 - 2)(x^2 - 3x + 2)^2.

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