Calcular:
lim x 2 x^3-x^2-2 xx-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 da expressão $ \frac{x^{3} - x^{2} - 2x}{x - 2} $. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples.
x = 2
A gente se depara com uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão antes de tentar calcular o limite.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada, uma técnica comum é fatorar o numerador para tentar cancelar o fator que está causando o zero no denominador. Vamos fatorar $ x^{3} - x^{2} - 2x $.
Primeiro, fatoramos $ x $:
x^3 - x^2 - 2x
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático $ x^{2} - x - 2 $. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e +1.
x
Então, o numerador fatorado fica:
x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)

Passo 4

Agora que fatoramos o numerador, a expressão original fica:
x(x - 2)(x + 1)x - 2
Perceba que temos $ (x - 2) $ no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator:
(x - 2)
Agora, a expressão está simplificada para $ x(x + 1) $, e podemos calcular o limite substituindo $ x = 2 $:
x cancel(x - 2)(x + 1)cancel(x - 2) = x(x + 1)

Resposta

O limite quando $ x $ se aproxima de 2 é igual a 6.

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