Calcular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 da expressão $ \frac{x^{3} - x^{2} - 2x}{x - 2} $. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor de $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples.
A gente se depara com uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão antes de tentar calcular o limite.
Passo 3
Quando temos uma forma indeterminada, uma técnica comum é fatorar o numerador para tentar cancelar o fator que está causando o zero no denominador. Vamos fatorar $ x^{3} - x^{2} - 2x $.
Primeiro, fatoramos $ x $:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático $ x^{2} - x - 2 $. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e +1.
Então, o numerador fatorado fica:
Passo 4
Agora que fatoramos o numerador, a expressão original fica:
Perceba que temos $ (x - 2) $ no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator:
Agora, a expressão está simplificada para $ x(x + 1) $, e podemos calcular o limite substituindo $ x = 2 $:
Resposta
O limite quando $ x $ se aproxima de 2 é igual a 6.