Encontrar pontos críticos, classificar os pontos entre pontos mínimos e máximos locais:
y(x)=3 x^4-4 x^3-6 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os pontos críticos da função y(x) = 3x^4 - 4x^3 - 6x^2 e classificar esses pontos como mínimos ou máximos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Precisamos calcular a primeira e a segunda derivada da função para identificar e classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são os valores de x onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Como nossa função é polinomial, a derivada primeira sempre existe, então vamos igualá-la a zero.
Vamos calcular a derivada primeira de y(x) :
y'(x) = ddx(3x^4 - 4x^3 - 6x^2) = 12x^3 - 12x^2 - 12x

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde y'(x) = 0 :
12x^3 - 12x^2 - 12x = 0
Podemos fatorar essa expressão:
12x(x^2 - x - 1) = 0
Isso nos dá duas partes:
  1. 12x = 0 x = 0
  2. x^2 - x - 1 = 0
Para resolver a segunda equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
Então, os pontos críticos são:
x = 0, x = 1 + raiz52, x = 1 - raiz52

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, precisamos classificá-los como mínimos ou máximos locais. Para isso, usamos a segunda derivada da função. Se a segunda derivada em um ponto crítico for positiva, temos um mínimo local; se for negativa, um máximo local.
Vamos calcular a segunda derivada de y(x) :
y''(x) = ddx(12x^3 - 12x^2 - 12x) = 36x^2 - 24x - 12

Passo 5

Agora, vamos avaliar y''(x) nos pontos críticos encontrados:
  1. Para x = 0 :
y''(0) = 36(0)^2 - 24(0) - 12 = -12
Como y''(0) = -12 < 0 , temos um máximo local em x = 0 .
  1. Para x = 1 + raiz52 :
Vamos calcular y''(1 + raiz52) :
Primeiro, calculando x = 1 + raiz52 :
y''(1 + raiz52) = 36(1 + raiz52)^2 - 24(1 + raiz52) - 12
Após simplificar, descobrimos que y'' > 0 , então temos um mínimo local nesse ponto.
  1. Para x = 1 - raiz52 :
Similarmente:
y''(1 - raiz52) = 36(1 - raiz52)^2 - 24(1 - raiz52) - 12
Após simplificar, descobrimos que y'' > 0 , então também temos um mínimo local nesse ponto.

Resposta

Os pontos críticos da função y(x) = 3x^4 - 4x^3 - 6x^2 são:
  • x = 0 Máximo local
  • x = 1 + raiz52 Mínimo local
  • x = 1 - raiz52 Mínimo local

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