Encontrar pontos críticos, classificar os pontos entre pontos mínimos e máximos locais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os pontos críticos da função
e classificar esses pontos como mínimos ou máximos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Precisamos calcular a primeira e a segunda derivada da função para identificar e classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são os valores de
onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Como nossa função é polinomial, a derivada primeira sempre existe, então vamos igualá-la a zero.
Vamos calcular a derivada primeira de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde
:
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas partes:
-
⇒ -
Para resolver a segunda equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, precisamos classificá-los como mínimos ou máximos locais. Para isso, usamos a segunda derivada da função. Se a segunda derivada em um ponto crítico for positiva, temos um mínimo local; se for negativa, um máximo local.
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
nos pontos críticos encontrados:
- Para
:
Como
, temos um máximo local em
.
- Para
:
Vamos calcular
:
Primeiro, calculando
:
Após simplificar, descobrimos que
, então temos um mínimo local nesse ponto.
- Para
:
Similarmente:
Após simplificar, descobrimos que
, então também temos um mínimo local nesse ponto.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
— Máximo local -
— Mínimo local -
— Mínimo local