Encontre uma equação da reta tangente à curva y=x^2+2 x no ponto (1,3). Faça o gráfico da curva e da reta tangente.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y=x^2+2x no ponto (1,3). Para isso vamos usar:
  • Cálculo da derivada de y para obter a inclinação da reta num ponto qualquer.
  • Uso da forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta.
    Em seguida faremos um esboço do gráfico da parábola e da reta tangente.

Passo 2

A derivada de y=x^2+2x em relação a x é
y' = ddx(x^2+2x) = 2x + 2

Passo 3

Avaliaremos a inclinação da reta tangente em x=1:
m = y'(1) = 2cdot1 + 2 = 4

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação
y - y0 = m,(x - x0),
com (x0,y0)=(1,3) e m=4, temos
y - 3 = 4,(x - 1)
y - 3 = 4x - 4
y = 4x - 1

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • A parábola y=x^2+2x tem vértice em x=-1 e passa por (1,3).
  • A reta y=4x-1 intercepta o eixo y em -1 e toca a parábola exatamente em (1,3).
    bul<=t No gráfico, a parábola abre para cima e a reta cruza a curva tangencialmente em (1,3).

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 4x - 1

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