Calcular os limites abaixo, usando as propriedades dos limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular limntoinftyl(2n+32n+1r)^n+1. O conteúdo é limites de sequências com forma exponencial, e vamos usar logaritmo e expansão de ln(1+x).

Passo 2

Reescrevemos o quociente para facilitar a expansão:
2n+32n+1 = 2nl(1+tfrac32nr)2nl(1+tfrac12nr) = 1+tfrac32n1+tfrac12n

Passo 3

Definimos an = l(tfrac2n+32n+1r)^n+1 e usamos ln para transformar o produto em soma:
ln an = (n+1)l[lnl(1+tfrac32nr) - lnl(1+tfrac12nr)r]

Passo 4

Para grandes n, aplicamos a expansão ln(1+x)approx x - x^2/2:
lnl(1+tfrac32nr)approx tfrac32n-tfrac98n^2, lnl(1+tfrac12nr)approx tfrac12n-tfrac18n^2
Subtraindo, obtemos
lnl(1+tfrac32nr)-lnl(1+tfrac12nr)approx 1n-1n^2

Passo 5

Multiplicando por n+1:
ln an approx (n+1)l(tfrac1n-tfrac1n^2r) = 1 - tfrac1n^2
Fica claro que limntoinftyln an =1, logo limntoinftyan = e^1 = e.

Resposta

e

Exercícios relacionados