a) Fibonacci colocou o seguinte problema: suponha que coelhos vivam para sempre e que a cada mês cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com 2 meses de idade. Se começarmos com um par de recém-nascidos, quantos pares de coelhos teremos no n-ésimo mês? Mostre que a resposta é
, onde
é a seqüência de Fibonacci.
b) Seja
. Mostre que
. Assumindo que
é convergente, encontre seu limite.
b) Seja
Passo 1
Resumo do enunciado: a) temos o clássico problema de Fibonacci sobre o crescimento de pares de coelhos, e queremos mostrar que, no enésimo mês, o número de pares é dado pela sequência $a_n$ de Fibonacci. b) Definimos \b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} e queremos provar a relação de recorrência entre os \b_n e, assumindo convergência, encontrar o limite.
Passo 2
Para a parte (a), identificamos que em cada mês há duas contribuições para o número de pares de coelhos: os pares já existentes no mês anterior ($a_{n-1}$) e os novos pares nascidos. Só os pares com pelo menos 2 meses procriam, ou seja, o número de novos pares no mês \n-ésimo é igual a $a_{n-2}$. Portanto temos a recorrência
com condições iniciais $a_1=1$ e $a_2=1$. Essa definição é justamente a sequência de Fibonacci, logo o número de pares no mês $n$ é $a_n$.
Passo 3
Para a parte (b), usamos \b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}. Então
Passo 4
Pela recorrência temos $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$, logo
Passo 5
Assumindo que \b_n\) converge para um limite \L\), podemos passar ao limite na relação acima (índices grandes não importam) e obter
Passo 6
Resolvendo \L^2 = L + 1\), temos as raízes \L=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\). Como \b_n\) é positivo, adotamos
Resposta
a) O número de pares de coelhos no mês n é o termo \a_n\) da sequência de Fibonacci definida por \a_1=a_2=1\) e \a_n= a_{n-1}+a_{n-2}\). b) O limite da sequência \b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) é \\frac{1+\sqrt{5}}{2}.