Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo

Passo 1

Nesse exercício a gente quer derivar a função y = (1 + 3x + 4x^2)^-3 usando regra da cadeia. O conteúdo é derivada de potência composta, e vamos precisar identificar a parte interna u(x) e aplicar ddx[u(x)^n] = n,u(x)^n-1,u'(x).

Passo 2

Vamos chamar a parte interna de u(x) = 1 + 3x + 4x^2. Assim, a função fica y = u(x)^-3. Essa substituição facilita aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u(x). Como u(x)=1+3x+4x^2, temos
u'(x) = ddx(1) + ddx(3x) + ddx(4x^2) = 0 + 3 + 8x = 3 + 8x

Passo 4

Em seguida encontramos dydu tratando y como potência de u:
dydu = ddul(u^-3r) = -3,u^-4

Passo 5

Por fim aplicamos a regra da cadeia:
y' = dydu cdot u'(x) = l(-3,u^-4r) cdot (3 + 8x)

Passo 6

Substituindo de volta u = 1 + 3x + 4x^2, chegamos em
y' = -3,(1 + 3x + 4x^2)^-4 ,(3 + 8x)

Resposta

y' = -3,(3 + 8x),(1 + 3x + 4x^2)^-4

Exercícios relacionados