Calcular os limites abaixo, usando as propriedades dos limites:
lim x 0 sen a xsen b x, b neq 0

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto0sin(ax)sin(bx) com bneq0. O conteúdo é limites de funções trigonométricas e vamos usar a propriedade fundamental limuto0sin uu=1, além das regras de produto e quociente de limites.

Passo 2

Para explorar o limite fundamental, reescrevemos cada seno dividindo e multiplicando por x:
sin(ax)sin(bx) =sin(ax)ax;cdot;bxsin(bx);cdot;ab
Aqui isolamos dois fatores que tendem a 1 quando xto0 e um fator constante ab.

Passo 3

Aplicando o limite em cada fator:
  • limxto0sin(ax)ax=1 pelo limite fundamental.
  • limxto0bxsin(bx)=1 pois é o recíproco de limxto0sin(bx)bx=1.
  • ab é constante.
Pelo produto de limites, o resultado é:
1times1timesab=ab

Resposta

ab

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